Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên Lời giải số nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học Toán 8, Toán 9 thường gặp trong các đề kiểm tra, đề thi học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Phương trình nghiệm nguyên Tài liệu gồm 87 trang, tổng hợp đầy đủ các dạng lý thuyết và bài tập về cách tìm nghiệm nguyên. Bài giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi học sinh có học lực từ trung bình, khá đến khá. Nhờ đó, giúp học sinh củng cố, nắm chắc kiến ​​thức cơ bản, vận dụng vào giải các bài tập cơ bản. Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu: Chuyên đề giải phương trình bậc hai với tham số, Bài tập quan hệ Vi-et và ứng dụng.

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f (x, y, z, …) = 0 với các nghiệm nguyên chứa ẩn số x, y, z, … để tìm tất cả
tất cả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình này.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Trong khi giải phương trình với nghiệm nguyên, ngoài các biểu thức trong phương trình còn dùng phép chia hết, tính chất, tính chẵn lẻ … để tìm các tính chất đặc biệt của ẩn số. cần vận dụng linh hoạt các tính chất của nó để từ đó rút gọn các phân thức về các dạng mà chúng ta đã biết. cách giải hoặc các phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp phổ biến nhất được sử dụng để giải phương trình số nguyên là:

  • phương pháp sử dụng thuộc tính chia hết
  • Phương pháp xem xét số dư của hai bên
  • Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
  • Phương pháp sử dụng thuộc tính của hình vuông hoàn hảo
  • Phương pháp nghịch đảo vô hạn, nguyên lý giới hạn

3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên.

I. PHƯƠNG PHÁP CHIA

Hình thức 1: Phát hiện khả năng chia hết tiềm ẩn

Vấn đề 1. Giải phương trình số nguyên 3 x + 17 y = 159 (1)

Hướng dẫn giải pháp

Gọi x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy rằng 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên 17 y vdots 3 Mũi tên phải y vdots 3 (do sự kết hợp của 17 và 3 yếu tố).

Đặt matrm {y} = 3 matrm {t} (mathrm {t} trong mathrm {Z}) Nếu chúng ta thay thế nó trong phương trình, chúng ta nhận được 3 toán {x} +17,3 toán {t} = 159 Phép toán mũi tên trái {x} +17 toán {t} = 53.

Sau đó: left {start {sequ} {c} mathrm {x} = 53-17 math {t} matrm {y} = 3 math {t} end {array} (math {t} at mathrm {Z}) bên phải.. Thử lại, ta thấy phương trình đã cho thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53-17 t, 3 t), với t là số nguyên tùy ý.

Vấn đề 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x + 13 y = 156 (1).

Hướng dẫn giải pháp

– Cách 1: Vậy có 13y: 13 và 156: 13 2xvdots13 Mũi tên phải xvdots13 (vì (2.3) = 1).

x = 13k (k trong z) thay vào (1) ta được: y = -2 k + 12

Vậy nghiệm ban đầu của phương trình là:left {start {array} {l} x = 13 k y = -2 k + 12end {array} (k in Z) right ..

– Cách 2: từ (1) Mũi tên phải x = frac {156-13 y} {2} = 78-frac {13 y} {2},

Với x Mũi tên phải trong Z frac {13 y} {2} Mà trong Z (13,2) = 1 Mũi tên phải y vdots 2 Đặt y = 2 t (t tại Z) Mũi tên phải x = 78-13 t

Vậy nghiệm ban đầu của phương trình là: left {start {array} {l} x = 78-13 t y = -2 trend {array} quad (t in Z) right ..

Lưu ý: Phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số nguyên.

* Phương pháp giải:

– Cách 1: Xét tính chất chia hết của các tủ.

– Cách 2: Ẩn nguyên tố, dùng phép chia hết để tìm điều kiện để một phân số là số nguyên.

Vấn đề 3. Giải ra nghiệm nguyên 23 x + 53 y = 109.

Hướng dẫn giải pháp

chúng ta có x = frac {109-53 y} {23} = frac {23 (4-2 y) + 17-7 y} {23} = 4-2 y + frac {17-7 y} {23}

Chúng ta cần chuyển đổi phân số hơn nữa phân số {17-7 toán {y}} {23} nên hệ số của biến y là 1.

Phân tích: Chúng tôi cộng và trừ một bội số thích hợp của 23 từ tử số.

frac {17-7 math {y}} {23} = frac {17-7 math {y} + 46-46} {23} = frac {7 (9-mathrm {y}) - 46} {23} = -2 + frac {7 (9-mathrm {y})} {23}

Từ đây x = 2-2 y + frac {7 (9-y)} {23}Với x Mũi tên phải trong Z frac {9-y} {23} trong Z, do (7.23) = 1.

Đặt 9-mathrm {y} = 23 math {t} (math {t} in math {Z}) Mũi tên phải toán {y} = 9-23 math {t}

Vậy nghiệm ban đầu của phương trình là: left {start {array} {l} x = 9-23 t y = 53 t-16end {array} (t in z) right ..

Vấn đề 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x + 18 y = 120

Hướng dẫn giải pháp

thấy bạn 11 x vdots 6 Mũi tên phải x vdots 6 suy ra x = 6k (k trong z) (1) thay vì đơn giản hóa, ta được: 11 k + 3 y = 20

Chúng ta thu được biểu thức bí mật có giá trị tuyệt đối nhỏ (y) đối với hệ số k của nó: y = frac {20-11 k} {3}

Tách giá trị nguyên của biểu thức này: toán học {y} = 7-4 toán học {k} + frac {mathrm {k} -1} {3}

Thiết lập lại: frac {mathrm {k} -1} {3} = mathrm {t} (mathrm {t} at mathrm {Z}) Rightarrow matrm {k} = 3 matrm {t} +1.

Sau đó: matrm {y} = 7-4 (3 matrm {t} +1) + mathrm {t} = 3-11 matrm {t}; bốn toán {x} = 6 toán {k} = 6 (3 toán {t} +1) = 18 toán {t} +6

Thay các biểu thức trên vào phương trình (1)

Nghĩa là, nghiệm của phương trình với (x, y) = (18 t + 6; 3-11 t) trong z

Lưu ý: a) Nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tổng quát, ta có thể giải theo điều kiện sau:

left {start {array} {l} 18 math {t} +6> 0 3-11 math {t}> 0 end {array} Leftrightarrow-frac {1} {3}<frac{3 }{11}doğru.

Vậy t = 0 vì t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y) = (6.3).

Nếu tìm được một nghiệm nguyên dương của (1), ta giải được như sau: 11 x + 18 y = 120

Làm matrm {y} geq 1 phải là 11 matrm {x} leq 120-18,1 = 102.

Vì x là số nguyên toán {x} leq 9. Cách khác toán học {x} vdots 6 và x dương nên x = 6 toán mũi tên phải {y} = 3

Vấn đề 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6 toán {x} ^ {2} +5 toán {y} ^ {2} = 74

Hướng dẫn giải pháp

Chúng ta có:6 toán {x} ^ {2} +5 toán {y} ^ {2} = 74 Leftrightarrow 6left (mathrm {x} ^ {2} -4right) = 5left (10-mathrm {y} ^ {2} right) (lần 2)

suy ra từ (2) 6left (mathrm {x} ^ {2} -4right): 5Cách khác (6.5) = 1 Rightarrowleft (mathrm {x} ^ {2} -4right) vdots 5 Rightarrow math {x} ^ {2} = 5 math {t} +4 (math {t} in math {N})

di dời toán học {x} ^ {2} -4 = 5 toán học {t} trong 2): 30 math {t} = 5left (10-mathrm {y} ^ {2} right) Leftrightarrow math {y} ^ {2} = 10-6 math {t}

Thu được:t trong {0; Đầu tiên}

Với t = 0, đề bài không đạt yêu cầu.

Với t = 1, chúng ta nhận được: left {start {array} {l} x ^ {2} = 9 y ^ {2} = 4end {array} Leftrightarrowleft {begin {array} {l} x = pm 3 y = pm 2end {array} right. Đúng..

Mặt khác, x và y là các số nguyên dương nên x = 3, y = 2.

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (3,2).

2. Hình thức: Phương pháp trở về phương trình số chia

* Cơ sở phương pháp luận:

Chúng tôi đang cố gắng biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình với tích của các biểu thức có giá trị nguyên ở một phía và một hằng số nguyên ở phía bên phải.

Trên thực tế, hãy chuyển đổi phương trình thành dạng: matrm {A} (mathrm {x}; matrm {y}) cdot matrm {B} (mathrm {x}; matrm {y}) = mathrm {c} trong đó matrm {A} (mathrm {x}; matrm {y }), matrm {B} (mathrm {x}; matrm {y})

Loại 3: Phương pháp chia giá trị số nguyên.

* Cơ sở phương pháp luận: Trong nhiều bài toán có nghiệm nguyên, chúng ta chia nhỏ phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá và tìm cách giải, hầu hết các bài toán sử dụng phương pháp này thường vẽ đồ thị cho ẩn số (bậc nhất). .

Vấn đề 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: x y-2 y-3 y + 1 = 0

Hướng dẫn giải pháp

chúng ta có x y-2 y-3 y + 1 = 0 Mũi tên phải y (x-3) = 2 x-1.

Ta thấy x = 3 không phải là nghiệm. x neq 3 sau đó: y = phân số {2 x-1} {x-3}

phép chia phân số váy yếm {2 x-1} {x-3} giá trị số nguyên:

y = frac {2 x-1} {x-3} = frac {2 (x-3) +5} {x-3} = 2 + frac {5} {x-3}

Vì y là một số nguyên, váy yếm {5} {x-3} cũng là một số nguyên, do đó (x-3) là một ước của 5.

+) x-3 = 1 thì x = 4, y = 2 + 5 = 7

+) x-3 = -1 thì x = 2, y = 2-5 = -3 (loại)

+) x-3 = 5 thì x = 8, y = 2 + 1 = 3

+) x-3 = -5 thì x = -2 (loại)

Vậy (x, y) nghiệm là (4,7), (8,3).

Vấn đề 2. Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:toán {x} ^ {2} + mathrm {xy} -2 toán {y} -mathrm {x} -5 = 0

Hướng dẫn giải pháp

Nhận xét: Trong phương trình này, ẩn toán {y} có bậc nhất một ẩn nên ta có thể vẽ đồ thị y theo x

Chúng ta có: x ^ {2} + x y-2 yx-5 = 0 Mũi tên trái phải y (x-2) = - x ^ {2} + x + 5 nhân bốn

Với x = 2 thì:

Mũi tên phải 0 = 3

(phi logic)

…………………… Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm các Chuyên đề về nghiệm nguyên


Thông tin thêm về Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên thuộc dạng bài tập khó trong chương trình học môn Toán 8, Toán 9. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 môn Toán.
Phương trình nghiệm nguyên gồm 87 trang, tóm tắt đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập về cách tìm phương trình nghiệm nguyên. Giải phương trình nghiệm nguyên được biên soạn rất khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản. Ngoài ra các bạn tham khảo thêm tài liệu: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.
1. Giải phương trình nghiệm nguyên.
Giải phương trình f(x, y, z, …) = 0 chứa các ẩn x, y, z, … với nghiệm nguyên là tìm tấtcả các bộ số nguyên (x, y, z, …) thỏa mãn phương trình đó.
2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.
Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên là:
Phương pháp dùng tính chất chia hết
Phương pháp xét số dư từng vế
Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Phương pháp dùng tính chất của số chính phương
Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn
3. Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT
Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn
Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x+17 y=159 (1)
Hướng dẫn giải
Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3 x đều chia hết cho 3 nên  (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).
Đặt thay vào phương trình ta được
Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(53-17 t, 3 t) với t là số nguyên tùy ý.
Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 x+13 y=156 (1).
Hướng dẫn giải
– Phương pháp 1: Ta có 13y:13 và 156:13 nên  ( vì (2,3)=1).
Đặt x=13 k() thay vào (1) ta được: y=-2 k+12
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
– Phương pháp 2: Từ (1)
Để
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Chú ý: Phương trình có dang ax + by = c với a,b,c là các số nguyên.
* Phương pháp giải:
– Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hang tủ.
– Phương pháp 2: Thủ ẩn, sử dụng tính chia hết tìm đî̀u kiện để một phân số trở thành số nguyên.
Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 23 x+53 y=109.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1 .
Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để
Đặt
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:
Bài toán 4 . Tìm nghiệm nguyên của phương trình 11 x+18 y=120
Hướng dẫn giải
Ta thấy suy ra x=6 k() thay vào (1) rút gọn ta được: 11 k+3 y=20
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:
Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:
Lại đặt:
Do đó:
Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn
Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y)=(18 t+6 ; 3-11 t) với
Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tông quát ta có thể giải điêu kiện:

Do đó t=0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y)=(6,3).
Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11 x+18 y=120
Do
Do x nguyên nên . Mặt khác và x nguyên dương nên x=6
Bài toán 5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Từ (2) suy ra , mặt khác
Thay vào (2) ta có:
Suy ra:
Với t=0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Với t=1 ta có: .
Mặt khác x, y nguyên dương nên x=3, y=2.
Vậy phương trình có nghiệm (x, y)=(3,2).
Dạng 2: Phương pháp đưa về phương trình ước số
* Cơ sở phương pháp:
Ta tìm cách đưa phương trình đã cho thành phương trình có một vế là tích các biểu thức có giá trị nguyên, vế phải là hằng số nguyên.
Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:
Dạng 3: Phương pháp tách ra các giá trị nguyên.
* Cơ sở phương pháp: Trong nhiều bài toán phương trình nghiệm nguyên ta tách phương trình ban đầu thành các phần có giá trị nguyên để dễ dàng đánh giá tìm ra nghiệm, đa số các bài toán sử dụng phương pháp này thường rút một ẩn (có bậc nhất) theo ẩn còn lại.
Bài toán 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta thấy x=3 không là nghiệm nên do đó:
Tách ra ở phân thức  các giá trị nguyên:

Do y là số nguyên nên  cũng là số nguyên, do đó (x-3) là ước của 5 .
+) x-3=1 thì x=4, y=2+5=7
+) x-3=-1 thì x=2, y=2-5=-3 (loại)
+) x-3=5 thì x=8, y=2+1=3
+) x-3=-5 thì x=-2 (loại)
Vậy nghiệm (x, y) là (4,7),(8,3).
Bài toán 2 . Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhận xét: trong phương trình này ẩn mathrm{y} có bậc nhất nên rút y theo x
Ta có:
Với x=2 thì: (*)  (vô lý)
……………………
Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

#Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên


  • Tổng hợp: Edu Learn Tip
  • #Chuyên #đề #phương #trình #nghiệm #nguyên

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button